\section{酉空间介绍}

\begin{frame}{酉空间}
欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的。 酉空间实际就是欧氏空间在复数域上的版本。

\begin{definition}
  设 $V$ 是复线性空间， 在 $V$ 上定义了一个二元复函数：
  \[
    V\times V\rightarrow \symbf{C},\quad %(\alpha, \beta)\mapsto \pair{\alpha, \beta},
\alpha, \beta\mapsto \pair{\alpha, \beta},
  \]
  称为\emph{内积}, 它具有以下性质：
\begin{enumerate}
    \item $\pair{ \alpha,   \beta}=\overline{\pair{ \beta,   \alpha}}$, 这里 $\overline{\pair{ \beta,   \alpha}}$ 是 $\pair{ \beta,   \alpha}$ 的共轭复数;
      \item $\pair{k  \alpha,   \beta}=k\pair{ \alpha,   \beta}$;
        \item $\pair{ \alpha+ \beta,   \gamma}=\pair{ \alpha,   \gamma}+\pair{ \beta,   \gamma}$;
        \item $\pair{ \alpha,   \alpha}$ 是非负实数， 且 $\pair{ \alpha,   \alpha}=0$ 当且仅当 $ \alpha=\symbf{0}$,
      \end{enumerate}
其中 $ \alpha,  \beta,  \gamma$ 是 $V$ 中任意的向量， $k$ 为任意复数。
这样的带内积的复线性空间称为\emph{酉空间}。
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  在线性空间 $\symbf{C}^{n}$ 中，对向量
  \[
   \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \quad  \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)
\]
定义内积为
\[\tag{1}
\pair{ \alpha,   \beta}=a_{1} \bar{b}_{1}+a_{2} \bar{b}_{2}+\cdots+a_{n} \bar{b}_{n} .
\]
显然，内积 (1) 满足定义 14 中的条件。这样， $\symbf{C}^{n}$ 就成为一个酉空间。
\end{example}

由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此这里只简单地列出重要的结论， 而不详细论证。

\end{frame}

\begin{frame}

首先由内积的定义可得到内积关于第二分量的\emph{共轭线性性}：
\begin{enumerate}
    \item $\pair{ \alpha,  k  \beta}=\bar{k}\pair{ \alpha,   \beta}$.
      \item $\pair{ \alpha,   \beta+ \gamma}=\pair{ \alpha,   \beta}+\pair{ \alpha,   \gamma}$.
  \end{enumerate}

和在欧氏空间中一样，因为 $\pair{ \alpha,   \alpha} \geqslant 0$, 故可定义向量的长度。
\begin{enumerate}
      \setcounter{enumi}{2}
    \item  $\sqrt{\pair{ \alpha,   \alpha}}$ 叫做向量 $ \alpha$ 的\emph{长度}， 记为 $| \alpha|$.
        \item 柯西-布尼亚科夫斯基不等式仍然成立，即对任意的向量 $ \alpha,  \beta$, 有
          \[
          |\pair{ \alpha,   \beta}| \leqslant| \alpha|| \beta| \text {. }
      \]
    等号成立当且仅当 $\alpha, \beta$ 线性相关。
  \end{enumerate}

   酉空间中的内积 $\pair{ \alpha,   \beta}$ 一般是复数， 故向量之间不易定义夹角， 但我们仍引入

\begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{4}
  \item 向量 $ \alpha,  \beta$, 当 $\pair{ \alpha,   \beta}=0$ 时，称为\emph{正交}或\emph{互相垂直}。
  \end{enumerate}

在 $n$ 维酉空间中， 同样可以定义\emph{正交基}和\emph{标准正交基}， 并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：

\begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{5}
    \item 任意一组线性无关的向量可以用Gram-Schmidt过程正交化， 并扩充成为一组标准正交基。

    \item 对 $n$ 阶复矩阵 $ A$, 用 $\overline{ A}$ 表示以 $ A$ 的元素的共轭复数作元素的矩阵， 称为矩阵$A$的\emph{共轭}矩阵。
      记$A^{\rH}=\bar{A}^{\rT}$, 此矩阵称为复矩阵$A$的\emph{共轭转置}，亦称为$A$的\emph{伴随}。
      如 $ A$ 满足 $A^{\rH}A=AA^{\rH}=E$, 
            就叫做\emph{酉矩阵}。 酉矩阵的行列式的绝对值等于 $1$.
      \end{enumerate}

    两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。
  \end{frame}

  \begin{frame}
  类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵， 可以引进酉空间的酉变换和埃尔米特 (Hermite) 矩阵。 它们也分别具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质， 我们把它列举在下面：

  \begin{enumerate}
      \setcounter{enumi}{8}
    \item 酉空间 $V$ 的线性变换 $\mathscr{A}$如果保内积，即满足
      \[
      \pair{\mathscr{A}  \alpha,  \mathscr{A}  \beta}=\pair{ \alpha,   \beta},
  \]
就称为 $V$ 的一个\emph{酉变换}。 酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。

  \item 如矩阵 $ A$ 满足
    \[
      A^{\rH}=A,
\]
则叫\emph{埃尔米特矩阵}。 此时酉空间 $\symbf{C}^{n}$ 上的线性变换
\[
  \sA\colon \symbf{C}^{n}\rightarrow \symbf{C}^{n}, X\mapsto AX
\]
满足
\[
  \pair{\mathscr{A}  \alpha,   \beta}=\pair{ \alpha,  \mathscr{A}  \beta},
\]
即$\mathscr{A}$ 是对称变换。
\item  $V$ 是酉空间， $V_{1}$ 是子空间， $V_{1}^{\perp}$ 是 $V_{1}$ 的正交补，则 $V=V_{1} \oplus V_{1}^{\perp}$.

又设 $V_{1}$ 是对称变换的不变子空间，则 $V_{1}^{\perp}$ 也是不变子空间。
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{enumerate}
      \setcounter{enumi}{10}
      \item 埃尔米特矩阵的特征值为实数， 它的属于不同特征值的特征向量必正交。

        \item 若 $ A$ 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 $ C$, 使
          \[
             C^{-1}  A C=C^{\rH} A C
      \]
    是对角矩阵。
    \item 设 $ A$ 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数
      \[
      f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} \bar{x}_{j}= X^{\rH}  A X
  \]
叫做\emph{埃尔米特二次型}。 存在酉矩阵 $ C$使得在线性变换$ X= C Y$下
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=d_{1} y_{1} \bar{y}_{1}+d_{2} y_{2} \bar{y}_{2}+\cdots+d_{n} y_{n} \bar{y}_{n} .
\]
\end{enumerate}
\end{frame}
